Die vier Maxwell-Gleichungen inklusive der Lorentz­kraft bilden die Grund­lage für die Feld­theorie der Elektro­dynamik. Diese Gleichungen beinhalten gewisse symmetrische und unsymme­trische Strukturen. Um das zu verdeut­lichen, bedient man sich geometrischer Über­legungen.

Deshalb werden wir nun betrachten, in welcher Weise sich aus vorhandenen Ladungen und Strömen elek­trische und magne­tische Felder ergeben.

Als erstes betrachten wir die statischen Felder.

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Hierzu kann man sich gedank­lich eine Punkt­ladung q vorstellen, um die herum sich ein elek­trisches Feld befindet. Die Feld­linien und die Feld­stärke­vektoren sind alle strahlen­förmig angeordnet. Positive Ladungen zeigen nach außen, negative Ladungen zeigen nach innen.

Die 1. Maxwell-Gleichung beschreibt diesen Prozess:

Bei dieser Beziehung spielt die Ladungs­dichte eine Rolle. Es ist aber auch möglich, ein statisches Feld aufgrund einer Strom­dichte zu erzielen.

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In diesem Fall wird der Strom I durch die Strom­dichte­vektoren beschrieben, der sich mit einem magne­tischen Feld­wirbel umgibt. Die Rotation dieses Vektor­feldes rot ist ein Vektor, der in der Wirbel­achse dieses Wirbels liegt. Der Rotations­vektor ist parallel und daher propor­tional zur Strom­dichte.

Die 2. Maxwell-Gleichung beschreibt diesen Prozess:

Diese Beziehung beinhaltet nicht den elek­trischen Verschie­bungs­strom, weil es jetzt nur um statische Felder geht.

Im Gegen­satz dazu gibt es zeitab­hängige magne­tische Felder, die in der Realität eher die Regel sind.

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In diesem Fall wird das magne­tische Feld durch die Feld­vektoren beschrieben. Da sich diese Vektoren zeitlich ändern, lassen sie sich beschreiben als: ∂ / ∂t

Diese Vektoren sind den Feld­vektoren entgegen­gerichtet, was zu einem kleineren magne­tischen Feld führt.

Und die 3. Maxwell-Gleichung, die das beschreibt, lautet:

Somit ist der Rotations­vektor rot der zeit­lichen Ände­rung des magne­tischen Feld­wirbels ∂ / ∂t genau entgegen­gerichtet, und daher parallel zur Wirbel­achse.

Insofern umgibt sich ein zeit­lich änderndes magne­tisches Feld mit einem elek­trischen Wirbel­feld. Und genau das erhält man aus dem Induktions­gesetz. Denn die Induktions­spannung ist ein Anzeichen dafür, dass es ein elek­trisches Wirbel­feld geben muss.

Darüber hinaus gibt es noch zeitlich veränder­liche elek­trische Felder.

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In diesem Fall wird ein zeitlich veränder­liches elek­trisches Feld durch die Feld­vektoren beschrieben. Hierzu kann man sich gedank­lich zwei Konden­sator­platten vorstellen, zwischen denen ein solches Feld liegt. Und wenn sich der Konden­sator auflädt, umgibt sich dieses elek­trische Feld mit einem magne­tischen Feld­wirbel . Und wenn sich das elek­trische Feld durch den Lade­strom verändert, ergibt sich ein elek­trischer Feld­stärke­vektor ∂ / ∂t.

Die 4. Maxwell-Gleichung, die das beschreibt, lautet:

Hier wurde der zusätz­liche Term μ_₀ · unberück­sichtigt gelassen, weil in diesem Fall kein Ladungs­strom fließt. Insofern verbleibt im Innern des Konden­sators nur der imaginäre Verschie­bungs­strom, mit einer sich zeit­lich veränder­lichen Feld­stärke. Wie schon im vorherigen Kapitel erwähnt, ist das Produkt ε_₀ · μ_₀ ein sehr kleiner Wert.

An dieser Stelle ist noch zu erwähnen, dass sich verschiedene Felder durchaus über­lagern können. Und da die Maxwell-Gleichungen lineare Differential­gleichungen sind, ist auch das „Super­positions­prinzip” gültig. Mit anderen Worten, es werden sich die Felder, wenn sie von unterschied­lichen Quellen herrühren, auch linear über­lagern. Das gilt aber nur für moderate Feld­stärken. Denn bei hohen Feld­stärken kommt es zu nicht­linearen Phänomenen.

Bisher haben wir nur langsame Verände­rungen betrachtet. In den meisten Fällen bildet sich aber ein elek­trisches oder magne­tisches Feld „schlagartig” und unmittel­bar aus. Bei besonders hohen Frequenzen kommt es zu zeit­lichen Verzöge­rungen der von­einander in Abhängig­keit stehenden Felder. So dass es dann schließ­lich zu einer Wellen­ausbreitung kommt.

Bevor wir uns aber der Wellen­ausbreitung zuwenden, werden wir die elektro­magnetischen Schwingungen betrachten. Hierbei geht es noch um Frequenzen, die langsam genug ist. In der Wechsel­strom­lehre haben wir typischer Weise Frequenzen bis 50 bzw. 60 Hz. Dort spielt der Wellen­charakter noch keine wesent­liche Rolle.

Nachdem wir noch­mals alle Maxwell-Gleichungen gegen­über­gestellt haben, wenden wir uns jetzt den magne­tischen Eigen­schaften der Materie zu.

Bei den magne­tischen Eigen­schaften zeigt sich, dass im Allge­meinen die Beeinflussung eines Magnet­feldes durch die Anwesen­heit einer magnetisier­baren Materie sehr gering ist. Anders verhält es sich dagegen bei dem Ferro­magnetismus.

Dort lassen sich ganz besondere Effekte beobachten, die um einen Faktor 1.000 oder sogar 10.000 höher ausfallen. Diesen ferro­magne­tischen Medien haben wir eine Viel­zahl heutiger Techno­logien zu verdanken.

Doch wenn man über magne­tische Eigen­schaften spricht, betrachtet man zuerst die magne­tischen Dipole. in einem früheren Kapitel wurde bereits das magne­tische Dipol­moment behandelt.

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Es ging um eine strom­durch­flossene Strom­schleife, die eine kreis­förmige Fläche umschließt. Diese Fläche hat einen Flächen­vektor , der senkrecht auf der Fläche steht. Der Strom I fließt nach der Rechte-Hand-Regel rechts herum. Das magne­tische Dipol­moment _m ist ein Vektor, der parallel und gleich­gerichtet zum Flächen­vektor ist.

Das magnetische Dipolmoment war definiert als:

Somit besteht ein Unter­schied zwischen dem magne­tischen und dem elek­trischen Dipol.

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Denn beim elek­trischen Dipol war es so, dass es zwei gleich große, gegen­sätzliche Punkt­ladungen gibt, die mit einem Verbindungs­vektor verbunden sind. Dieser Vektor zeigt von der negativen zur positiven Ladung. Das elek­trische Dipol­moment _e ist ein zusätz­licher Vektor, der parallel und gleich­gerichtet zum Verbindungs­vektor ist.

Und das elek­trische Dipol­moment war definiert als:

Ein magne­tischer Dipol wird aber nicht wie beim elek­trischen Dipol durch zwei Punkt­pole realisiert, sondern viel­mehr durch einen Kreis­strom, der eine Fläche umschließt. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie die Felder im Detail ausschauen.

Beim elek­trischen Dipol ist es sehr einfach, denn die Feld­linien zeigen immer in einem Bogen von +q nach −q. Bei der Strom­schleife dagegen umschließen die Feld­linien den dünnen strom­durch­flossenen Leiter. Was ergibt sich daraus?

Im Fernfeld, also wenn man relativ weit weg ist von den Dipolen, haben beide Felder eine gewisse Ähnlich­keit. Schaut man sich dagegen das Nahfeld im Innern dieses Dipols an, zeigt das magne­tische Feld in Richtung des magne­tischen Dipol­moments, wogegen das elek­trische Feld genau in entgegen­gesetzte Richtung zum elek­trischen Dipol­moment zeigt. Und das ist der Grund dafür, warum die magne­tischen Werk­stoffe das Feld beim magne­tischen Dipol noch verstärken, wogegen das Feld beim elekt­rischen Dipol abgeschwächt wird.

Wir erinnern uns, beim Berechnen eines Magnet­feldes einer kreis­förmig strom­durch­flossenen Leiter­schleife hatte sich ergeben, dass bei zuneh­mendem Abstand von der Schleife, die magne­tische Fluss­dichte betrags­mäßig mit 1 /r³ zurück­geht. So wie auch beim elek­trischen Dipol die elek­trische Fluss­dichte eben­falls betrags­mäßig mit 1 /r³ zurück­geht. Was bedeutet das nun für die magne­tischen Eigen­schaften der Materie?

Die Moleküle, die einen derartigen magne­tischen Dipol aufweisen, werden sich in einem äußeren magne­tischen Feld eben­falls ausrichten können. Diese Ausrich­tung führt letztlich dazu, dass das Magne­tikum spezielle Eigen­schaften aufweist.

Wir betrachten zunächst, wie sich ein magne­tischer Dipol in einem homogenen äußeren magne­tischen Feld verhält. Wieder geht es zunächst einmal um eine strom­durch­flossene Schleife, bei der sich zusätz­lich ein äußeres Magnet­feld ausbildet. Insofern ergeben sich Ströme in diesem äußeren Magnet­feld, die durch die Lorentz­kraft hervor­gerufen werden.

^(a)   ist das äußere Magnetfeld

Für die weitere Über­legung kann man sich eine recht­eckige Strom­schleife vorstellen, die sich in einem solchen äußeren Magnet­feld befindet.

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Hierzu denkt man sich ein horizontal verlaufendes äußeres Magnet­feld ^(a), welches z.B. von links nach rechts verläuft. Dieses Magnet­feld tritt durch die besagte recht­eckige Fläche hindurch, die in diesem Fall aller­dings nicht senk­recht zum Feld steht, sondern schräg ange­ordnet ist. Sodass der Flächen­vektor , der ja immer senkrecht zur Fläche steht, jetzt eben­falls in einem Winkel zum Magnet­feld steht.

Die Eckpunkte des Recht­ecks werden im Uhrzeiger­sinn mit 1, 2, 3 und 4 bezeichnet, beginnend mit 1 unten rechts. Dement­spre­chend soll der Strom in dieser recht­eckigen Strom­schleife rechts­läufig fließen. Nun kann man die Lage der Strom­schleife noch mit zwei Einheits­vektoren beschreiben. Am Eck­punkt 1 verläuft der eine Einheits­vektor _a in vertikale Richtung sowie der zweite Einheits­vektor _b in waage­rechte Richtung. Daher werden die beiden senk­rechten Strecken­abschnitte der Schleife mit a bezeichnet und die beiden waage­rechten mit b. Als letztes verläuft der Vektor des magne­tischen Dipol­moments _m parallel zum Flächenvektor.

Nun möchte man wissen, welche Kraft auf eine solche Fläche in einem homogenen äußeren Magnet­feld ausgeübt wird. Hierzu rechnet man sich die Lorentz­kraft für alle vier Teil­abschnitte aus.

Wir erinnern uns, diese Lorentz­kraft wurde definiert als:

  ist ein Teil­abschnitt der Leiter­schleife

Die Kräfte auf die beiden Leiter­abschnitt b sind entgegen­gesetzt gerichtet und in der gleichen Wirkungs­linie. Daher kompen­sieren sich diese beiden Kräfte. Anders verhält es sich dagegen mit den Teil­abschnitten a. Die Kräfte auf die Teil­abschnitte a sind zwar auch gleich groß und entgegen­gesetzt, liegen aber aufgrund der Verdrehung nicht auf der gleichen Wirkungs­linie und bilden deshalb ein Kräfte­paar. Aus der Statik wissen wir, dass ein solches Kräfte­paar ein Dreh­moment bewirkt. Deshalb schauen wir uns die Kräfte auf die Leiter­stücke a genauer an.

Die Kraft für den Teil­abschnitt 2−3 und 4−1 lassen sich definieren als:

  "Dach" ist immer ein Vektor mit der Länge Eins

Da die beiden Kräfte entgegen­gesetzt nach außen gerichtet sind, wird sich die Fläche der Leiter­schleife so ausrichten wollen, das der Flächen­vektor mit dem magne­tischen Feld parallel ausge­richtet ist.

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Der Ausdruck für das Dreh­moment lautet entsprechend:

Durch Einsetzten erhält man ein doppeltes Vektor­produkt:

Wenn man alle konstanten skalaren Faktoren heraushebt, ergibt sich nach Umformung:

Eine Vektorproduktregel lautet:

Und wenn man diese Regel umformt, erhält man:

In diesem Fall kann man für das linke Vektor­produkt auch schreiben:

Bei obiger Produkt­regel sagt der zweite Term aus, falls bei der Strom­schleife ...

... vorliegt, die Stellung der Klammern geändert werden darf, sodass daraus folgt:

Und genau das wird bei obigem Dreh­moment ausgesagt.

Da beide senk­recht zueinander stehen, darf die Lage der Klammern bei dem doppelten Vektor­produkt verändert werden. Insofern ergibt sich jetzt durch Umformung:

Dieses a · b · ( _b × _a ) entspricht der Fläche .

Und I · entspricht dem magne­tischen Dipol­moment _m.

Damit ergibt sich für das Dreh­moment die einfache Beziehung:

Und wir erinnern uns, für das elek­trische Dipol­moment galt analog:

Insofern erkennt man auch hier eine gewisse Symmetrie.

Was wird aber letztlich durch die Definition des Dreh­moments ausgesagt?

Das Kräfte­paar wird so lange wirken, bis das magne­tische Dipol­moment _m und das äußere Magnet­feld ^(a) parallel zueinander ausge­richtet sind. Denn das vekto­rielle Produkt zweier paralleler Vektoren ist Null. Das Dreh­moment des äußeren Feldes bewirkt, dass sich die strom­durch­flossene Schleife zum äußeren Magne­tfeld quer stellt. Und in diesem Fall zeigt auch das eigene Magnet­feld der Strom­schleife in die gleiche Richtung wie das äußere Magnet­feld. Durch die gleiche Ausrichtung der beiden magne­tischen Felder wird das äußere Magnet­feld sogar noch verstärkt.

Damit erhält man folgende Aussage:

Wir haben also eine Gleich­orientierung, die zu einer Verstär­kung des äußeren Magnet­feldes führt.

Dagegen ist es beim elek­trischen Feld genau anders herum. Der elek­trische Dipol richtet sich so aus, dass sein eigenes inneres Feld entgegen­gerichtet ist gegen das äußere elek­trische Feld, und dieses damit abge­schwächt wird.

Wir haben auch hier eine Gleich­orientierung, die aber wie erwähnt, zu einer Abschwächung des äußeren elek­trischen Feldes führt.

Und auf diesen Unter­schied kommt es letzt­lich an, denn der Ferro­magnetismus zeichnet sich durch die Verstär­kung des äußeren Magnet­feldes aus.

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