Das sogenannte „Dreikörperproblem” entstand aus der Betrachtung der Himmelsmechanik. Das Problem besteht darin, die Wechselwirkung dreier physikalischer Systeme, in diesem Fall die Bewegung von drei Himmelskörper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Massenanziehung auf der Basis des Newton'schen Gravitationsgesetzes zu berechnen.
Das Dreikörperproblem führt zu neun gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und benötigt insgesamt 18 Integrationskonstanten. Von diesen Konstanten folgen jedoch nur 10 aus den allgemeinen Erhaltungssätzen für die Energie, den Impuls, den Drehimpuls und die Bewegung des Schwerpunkts.
Das Dreikörperproblem gilt seit den Entdeckungen von Johannes Kepler und Nikolaus Kopernikus als eines der schwierigsten mathematischen Probleme. Um quantitative Resultate zu erlangen, war das Problem bisher im allgemeinen Fall nur numerisch zu lösen. Trotz der Bemühungen großer Mathematiker seit mehr als zwei Jahrhunderten konnte noch keine allgemeine Lösung angegeben werden. Selbst ein allgemeines Näherungsverfahren wurde bislang nicht gefunden.
Die grundsätzliche Herausforderung besteht nämlich darin, dass es keine weiteren Bewegungsintegrale gibt, die aus den uns bekannten Erhaltungssätzen herzuleiten wären. Letztlich sind nur algebraische bzw. eindeutige analytische Funktionen der Orte und Geschwindigkeiten der Himmelskörper möglich.
Der italienische Mathematiker und Astronom
1) ... wenn die drei Massenpunkte die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks besetzen und sich dann mit gleicher Umlaufzeit auf einander ähnlichen Ellipsen bewegen. Allerdings muss die Gleichseitigkeit des Dreiecks erhalten bleiben. Eine solche Konstellation trifft näherungsweise auf die Himmelskörper Sonne, Jupiter und die Planetoiden der Trojanergruppe zu.
2) ... wenn die drei Massenpunkte auf derselben rotierenden Geraden liegen.
Die beiden Lagrange'schen Spezialfälle führten zur genaueren
Untersuchung partikulärer oder periodischer Lösungen des
Dreikörperproblems. Der französische Mathematiker, theoretische
Physiker und theoretische Astronom, H. Poincaré betrachtete das
eingeschränkte Dreikörperproblem in der Weise, dass zwei der Massen,
m2 und m3,
in bestimmter Weise klein gegenüber der Masse m1.
Für 1/a gilt dann:
Im Falle des erweiterten eingeschränkten Dreikörperproblems wird nur
für die Masse
Für das Allgemeine Dreikörperproblem sind dagegen nur numerische Integrationsmethoden anwendbar.
Poincaré erkannte im Rahmen seiner Untersuchungen, dass das Dreikörpersystem unter bestimmten Rahmenbedingungen ein chaotisches Verhalten zeigen kann. Das würde einerseits dazu führen, dass die meisten Bahnen der Planeten und insbesondere der Asteroiden und Kometen im Sonnensystem langfristig instabil wären.
Andererseits ermöglicht es, mit dem Verfahren der sogenannten Chaoskontrolle, instabile Bahnen von Raumsonden und Satelliten durch kleine Korrekturen zu stabilisieren. Darunter versteht man eine Methode zur Überführung chaotischen Verhaltens (Chaos) eines Systems in eine stabile, periodische Bewegung durch kleine Änderungen der Systemparameter.
Wie man deutlich erkennen kann, stellt das Dreikörperproblem und insbesondere das Mehrkörperproblem ein nicht zu unterschätzendes Hindernis bei der Bewertung der Planetenbahnen dar. Vor allem, wenn man nur aus Sicht des Newton'schen Gravitationsgesetztes die Lösung sucht.
Vielleicht gibt es ja eine Alternative. Im Bereich „Wirbelstrukturen” werden wir einen völlig anderen Denkansatz weiterverfolgen, der auch das Mehrkörperproblem auf verblüffend einfache Weise zu lösen vermag.
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