Das sogenannte „Dreikörper­problem” entstand aus der Betrach­tung der Himmels­mechanik. Das Problem besteht darin, die Wechsel­wirkung dreier physika­lischer Systeme, in diesem Fall die Bewegung von drei Himmels­körper unter dem Ein­fluss ihrer gegen­seitigen Massen­anziehung auf der Basis des Newtonschen Gravitations­gesetzes zu berechnen.

Das Dreikörper­problem führt zu neun gewöhn­lichen Differential­gleichungen zweiter Ordnung und benötigt insgesamt 18 Integra­tions­konstanten. Von diesen Konstanten folgen jedoch nur 10 aus den allge­meinen Erhaltungs­sätzen für die Energie, den Impuls, den Drehimpuls und die Bewegung des Schwerpunkts.

Das Dreikörper­problem gilt seit den Entdeckungen von Johannes Kepler und Nikolaus Kopernikus als eines der schwierigsten mathe­matischen Probleme. Um quantitative Resultate zu erlangen, war das Problem bisher im allge­meinen Fall nur numerisch zu lösen. Trotz der Bemü­hungen großer Mathe­matiker seit mehr als zwei Jahr­hunderten konnte noch keine all­gemeine Lösung angeben werden. Selbst ein allge­meines Näherungs­verfahren wurde bislang nicht gefunden.

Die grund­sätzliche Herausforderung besteht nämlich darin, dass es keine weiteren Bewegungs­integrale gibt, die aus den uns bekannten Erhaltungs­sätzen herzu­leiten wären. Letzt­lich sind nur algebraische bzw. ein­deutige analytische Funktionen der Orte und Geschwindig­keiten der Himmels­körper möglich.

Der italienische Mathematiker und Astronom J.-L. Lagrange begründete 1788 die Analytische Mechanik. Ihm gelang es, zwei exakt lösbare Sonder­fälle anzugeben, und zwar ...

1) ... wenn die drei Massen­punkte die Ecken eines gleich­seitigen Dreiecks besetzen und sich dann mit gleicher Umlauf­zeit auf einander ähnlichen Ellipsen bewegen. Aller­dings muss die Gleich­seitig­keit des Dreiecks erhalten bleiben. Eine solche Konstel­lation trifft näherungs­weise auf die Himmels­körper Sonne, Jupiter und die Planetoiden der Trojanergruppe zu.

2) ... wenn die drei Massen­punkte auf derselben rotierenden Geraden liegen.

Die beiden Lagrange'schen Spezial­fälle führten zur genaueren Unter­suchung partikulärer oder periodischer Lösungen des Drei­körper­problems. Der französische Mathe­matiker, theore­tische Physiker und theore­tische Astronom, H. Poincaré betrachtete das einge­schränkte Drei­körper­problem in der Weise, dass zwei der Massen, m_₂ und m_₃, in bestimmter Weise klein gegen­über der Masse m_₁. Für 1/a gilt dann:
m_₂ = a_₂ · m;   m_₃ = a_₃ · m;  a → 0, a_₁, a_₂ = const

Im Falle des erweiterten einge­schränkten Drei­körper­problems wird nur für die Masse m_₃ ≈ 0 angenommen. Die Massen m_₁ und m_₂ bewegen sich dabei auf Kreisen um den gemein­samen Schwer­punkt. Ist außer­dem m_₂ « m_₁, so kann bei bestimmten Bewegungs­arten eine gewisse Stabilität nach­gewiesen werden. Das träfe dann für das Drei­körper­problem Sonne, Erde und Mond zu.

Für das Allge­meine Drei­körper­problem sind dagegen nur numerische Integrations­methoden anwendbar.

Poincaré erkannte im Rahmen seiner Unter­suchungen, dass das Drei­körper­system unter bestimmten Rahmen­bedingungen ein chaotisches Verhalten zeigen kann. Das würde einer­seits dazu führen, dass die meisten Bahnen der Planeten und insbe­sondere der Asteroiden und Kometen im Sonnen­system lang­fristig instabil wären.

Anderer­seits ermöglicht es, mit dem Verfahren der soge­nannten Chaos­kontrolle, instabile Bahnen von Raum­sonden und Satelliten durch kleine Korrek­turen zu stabili­sieren. Darunter versteht man eine Methode zur Über­führung chaotischen Verhaltens (Chaos) eines Systems in eine stabile, perio­dische Bewegung durch kleine Ände­rungen der System­parameter.

Wie man deutlich erkennen kann, stellt das Drei­körper­problem und insbe­sondere das Mehr­körper­problem ein nicht zu unter­schätzendes Hindernis bei der Bewer­tung der Planeten­bahnen dar. Vor allem, wenn man nur aus Sicht des Newtonschen Gravitations­gesetztes die Lösung sucht.

Viel­leicht gibt es ja eine Alter­native. Im Bereich „Wirbel­strukturen” werden wir einen völlig anderen Denk­ansatz weiter­verfolgen, der auch das Mehrkörper­problem auf verblüffend einfache Weise zu lösen vermag.

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