Bisher haben wir 3 wichtige Bezie­hungen erarbeitet. Die erste Gleichung ergab sich aus der Ladungs­verteilung in einem System und war definiert als:

Diese Beziehung besagt, dass die Ladungs­dichte im Wesent­lichen mit der Quell­dichte des elek­trischen Feldes identisch ist. Die gesamte Elektro­statik baut auf dieser Gleichung auf.

Die Lösung dieser Gleichung war mit nach­folgendem Potential­ansatz möglich:

Durch Einsetzen in obige Beziehung erhält man eine skalare Differenzial­gleichung für das elek­trische Potential. Das geht natür­lich nur, wenn das elek­trische Feld ein konser­vatives Kraft­feld ist, und das ist in der Elektro­statik der Fall. Denn in zeitab­hängigen Systemen gibt es keine konser­vativen Kraftfelder.

Bei der Betrachtung der magne­tischen Kraft­felder wurde eine zweite Maxwell-Gleichung definiert:

Ein Vergleich mit der Elektro­statik zeigt, dass aus der Divergenz die Rotation wird, und aus der Ladungs­dichte wird die Strom­dichte. Mit dieser Gleichung wird das magne­tische Kraft­feld in Anwesen­heit von Strömen beschrieben.

Diese Beziehung besagt, dass die Strom­dichte im Wesent­lichen mit der Wirbel­dichte des magne­tischen Feldes identisch ist. Ein magne­tischer Feld­wirbel wird letzt­lich beschrieben durch das -Feld. Und der Rotations­vektor liegt hierbei parallel zur Wirbel­achse, wobei der Betrag jeweils die Zirku­lation rund um eine betrachtete Fläche angibt. Je größer die Wirbel­dichte ist, desto größer wird der Betrag von rot sein.

Die dritte Maxwell-Gleichung beschreibt den Sach­verhalt, dass es keine magne­tischen Monopole gibt:

Insofern quillt das Magnet­feld nirgendwo heraus. Vielmehr sind alle Magnet­linien geschlossen, und daher wird der Fluss aus einer derart geschlossenen Fläche heraus Null sein.

Wie bereits erwähnt, sind die ersten beiden Maxwell-Gleichungen inhomogen und die dritte dagegen homogen. Aller­dings war die dritte Gleichung noch unvoll­ständig. Außerdem gibt es noch eine weitere homogene Maxwell-Gleichung.

Ziel ist es jetzt, mit Hilfe der Maxwell'schen Grund­gleichungen, aus den Strom­dichte­verteilungen die zuge­hörigen Magnet­felder zu gewinnen. Wie zum Beispiel das Magnet­feld in der Umgebung einer strom­durch­flossenen Strom­schleife bzw. einer Spule aussieht. Oder aber, wenn es nur darum geht, das Magnet­feld eines gerad­linigen Strom­leiters zu berechnen.

Hierzu gibt es das soge­nannte „Biot-Savart-Gesetz”, welches es einem ermög­licht, bei beliebig geformten dünnen Strom­leitern, die zuge­hörigen magne­tischen Felder zu ermitteln. Um auf den grund­sätzlichen Lösungs­ansatz zu kommen, ist es wieder notwendig, zuvor einen Potential­ansatz zu machen. Hierbei geht es aber nicht um die poten­tielle Energie. Man erhält jetzt viel­mehr eine vektorielle Größe, die als „Vektor­potential” bezeichnet wird.

Im vorherigen Kapitel hatten wir gesehen, dass die magne­tische Spannung gleich dem Strom ist. Das heißt im Allge­meinen für das maß­gebliche Ringintegral:

Das bedeutet, dass selbst im Fall der Magneto­statik, das magne­tische Kraft­feld nicht konser­vativ sein wird. Deswegen lässt sich analog zur Elektro­statik hier kein Ansatz mit der Bildung des Gradienten machen. Denn es gibt gravierende Unter­schiede zwischen beiden Gebieten.

Dennoch lässt sich mit Hilfe der homogenen Maxwell-Gleichung div = 0 ein Ansatz machen.

In der Vektor­analysis gibt es verschiedene Grund­gleichungen, deren Kenntnis von Vorteil ist. Eine dieser Grund­gleichungen lautet:

Weil das elektro­statische Feld ein konser­vatives Kraft­feld ist, ist die Rotation des elek­trischen Feldes in der Elektro­statik gleich Null, und nur dann kann ein Ansatz mittels eines Gradienten gemacht werden.

Eine zweite dieser Grund­gleichungen lautet:

Mit dieser Beziehung lässt sich jetzt ein Ansatz für die dritte Maxwell-Gleichung machen, um diese weiter auszu­formulieren. Wobei die Aussage der bisher formulierten dritten Maxwell-Gleichung grund­sätzlich erhalten bleibt. Es lässt sich nun schreiben:

  ist das Vektorpotential

Dieses Vektor­potential wird nach­folgend als Werkzeug verwendet, um die Magnet­felder von Strömen zu berechnen. Die beiden Potentiale ϕ (phi) und sind in der Lage, die jeweiligen Kraft­felder darzu­stellen.

Dabei ist interessant, dass das magne­tische Vektor­potential 3 Komponenten hat, um es zu beschreiben. Das elek­trische Vektor­potential ist eine weitere Zahl. In Summe ergeben sich daraus 4 Komponenten. Und das führt dann zum Begriff des Viererpotentials, welches in weiterer Folge mit der 4-dimensionalen Raumzeit zusammen­hängt. Insofern beinhalten die Maxwell-Gleichungen bereits einen Aspekt der Relativistischen Mechanik.

Jetzt haben wir das Vektorpotential eingeführt.

Das elektrische Potential ϕ (phi) ist aber noch nicht ganz eindeutig. Denn wenn das ϕ um eine Konstante erweitert wird, ändert das nichts an dem Gradienten, und daher auch nichts an dem elek­trischen -Feld. Das bedeutet, das Potential ϕ ist nicht klar definiert. Verschiedene Potentiale, die sich durch Konstanten voneinander unter­schieden, liefern jeweils das gleiche elektrische Feld.

Wie sieht es aber mit dem magne­tischen Potential aus? Wenn man auch hier eine gewisse Konstante hinzu­fügt, und daraus ein ' bildet, bleibt auch dasselbe magne­tische -Feld erhalten. Aller­dings zeigt sich, dass das Potential eine größere Frei­heit hat, sich zu verändern. Näm­lich dadurch, dass man noch einen Gradienten hinzu­fügen kann.

Folgende Über­legung soll diesen Gedanken­gang verdeut­lichen:

Bei vorge­gebenem sei ein Vektor­potential. Neben ist auch ' = + grad f( ) + const.
Hinweis: Der Gradient wird bildet von einem Skalar und daraus wird dann wieder ein Vektor.

Wenn man jetzt eine Rotation von ' bildet, müssen beide Seiten erweitert werden, und dann ergibt sich:

rot grad   ist aber immer Null
rot const   ist ebenfalls Null

Also bleibt nur mehr stehen:

Damit erhält man die gleiche Aussage wie für das -Feld.

Auf diese Weise ergeben sich verschie­dene Möglich­keiten, auf ein anderes Potential zu trans­formieren, das anschlie­ßend wieder das richtige -Feld liefert. Eine solche Vorgehens­weise, bei der Potentiale trans­formiert werden, ohne dass sich dabei irgend­etwas physi­kalisch ändert, nennt man eine „Eichtrans­formation”.

Wie lässt sich aber nun das Magnet­feld einer vorge­gebenen Strom­verteilung konkret ausrechnen?

Hierzu benötigen wir als Ausgangs­situation wieder die inhomogene Maxwell-Gleichung:

Wenn man entspre­chend für einsetzt, ergibt sich:

Laut einer der Grund­gleichungen (Formelsammlung) kann man stattdessen auch schreiben:

Nun kann man auf Gund­lage der Vorgehens­weise bei Eichtrans­formation entsprechend erreichen, dass nicht nur = rot ist, sondern dass auch div = 0 entspricht. Man kann also das Vektor­potential so wählen, dass beides erfüllt ist. Diese Vorgehens­weise nennt man hier auch die Coulomb-Eichung. Denn wenn man auch zeitab­hängige Felder betrachten möchte, eignet sich die Lorenz-Eichung noch besser.

Wenn es bei entspre­chender Eichtrans­formation gelingt, dass div = 0 ist, dann wird der Gradient davon auch Null sein. Insofern bleibt nur noch stehen:

oder

Und das ist anlog zur Elektrostatik, wo galt:

Abgesehen davon, das ϕ (phi) ein Skalar ist, und ein Vektor, gibt es eine Analogie zwischen der Elektro­statik und der Magneto­statik. Und wenn beides mitein­ander verknüpft wird, erhält man, wie bereits erwähnt, einen 4-dimensionalen Zusammenhang.

Und für einen strom­freien Raum (z.B. Vakuum) gilt dann:

In der Elektro­statik entspricht das der Laplace-Gleichung:

Jetzt möchten wir obige Gleichung Δ = − μ₀ · lösen. Dazu schreiben wir sie zunächst in Komponenten­schreibweise auf:

Nun wird diese Beziehung mit obiger Laplace-Gleichung ver­glichen, wodurch man eine Entsprechung findet, die sich wie folgt darstellt:

Wenn man diese drei Kompo­nenten entspre­chend ersetzt, kann man einfach die Lösung der Poisson-Gleichung aus der Elektro­statik in die Magneto­statik über­tragen. Denn das sind strukturell gesehen die glei­chen Beziehungen, und daher auch die Lösungen entsprechend.

Hierzu verwendet man einfach die bereits erarbeitete Lösung aus der Elektro­statik. Man kann sich eine Ladungs­verteilung in Form einer Anzahl von vielen Punkt­ladungen Q_i denken.

Dann ergibt sich als Lösung für die Poisson-Gleichung:

Grafik (wird später eingefügt)

Man betrachtet einen gewissen Bereich, in welchem eine bestimmte Anzahl von Punkt­ladungen Q_i enthalten sind. Der Orts­vektor vom Ursprung zu einer dieser Punkt­ladungen bezeichnet man mit _i. Ein Beobachter befindet sich im Aufpunkt P, der seiner­seits vom Ursprung durch den Orts­vektor r beschrieben wird. Demnach ist der Verbindungs­vektor von der Punkt­ladung zum Auf­punkt −_i.

Für eine kontinuier­liche Ladungs­verteilung, bei der in einem Volumen für Q_i → ϱ · dv gilt, ergibt sich:

Analog erhält man jetzt durch Ersetzen (siehe Entsprechung) für ein Magnetfeld:

Nun lässt sich das auch vektoriell schreiben:

Auf diese Weise erhält man das Vektor­potential für ein Magnetfeld.

Aber jetzt kann man noch einen Schritt weiter­gehen, weil es ja letztlich um die Rotation geht:

= rot   (s.o.)

Und dann ergibt sich entspre­chend für die Rotation:

Nach verschie­denen Umfor­mungen kann die Rotation gleich­gesetzt werden mit:

Nach Einsetzen diese Ausdrucks in vorherige Gleichung erhält man unter Berück­sichti­gung der Strom­dichte­verteilung in einem dünnen Leiters (Spezialfall) den Ausdruck:

Und das ist das Biot-Savart-Gesetz.

d   ist ein Leiterelement

Hierbei wurde aus der Stromdichte ein einzelnes Leiter­element d des elek­trischen Leiters in Strom­richtung.

Welchem Zweck dient obige Vorgehens­weise bezüg­lich der magne­ti­schen Fluss­dichte, und vor allem wie integriert man jetzt eine solche Gleichung? Diesen Fragen gehen wir im nächsten Kapitel auf den Grund.

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