Die Divergenz eines Vektor­feldes ist ein Skalar­feld, das an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung des Punktes auseinander­streben. Interpretiert man das Vektor­feld als Strömungs­feld einer Größe, für welche die Kontinuitäts­gleichung gilt, dann ist die Divergenz die Quell­dichte. Senken haben negative Divergenz. Ist die Divergenz überall gleich Null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei. Folgende schöne Veranschau­lichung mag dies verständlich machen:

Man betrachtet zum Beispiel eine ruhige Wasser­ober­fläche in einem bis zum Rand gefüllten Gefäß, auf die ein dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimen­sionales zeit­abhängiges Vektor­feld beschrieben werden. An jedem Punkt ist zu jedem beliebigen Zeit­punkt die Fließ­geschwindigkeit des Öls in Form eines Vektors gegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasser­ober­fläche trifft, ist quasi eine „Ölquelle”, da von dort Öl wegfließt. Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv. Im Gegen­satz dazu bezeichnet man die Stelle, an der das Öl am Rand abfließt, als Senke. Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ.

Als Rotation bezeichnet man einen bestimmten Differential­operator, der einem Vektor­feld im dreidimen­sionalen eukli­dischen Raum mit Hilfe der Differen­tiation ein neues Vektor­feld zuordnet. Die Rotation eines Strömungs­feldes gibt für jeden Ort das Doppelte der Winkel­geschwindig­keit an, mit der sich ein mitschwimmender Körper dreht bzw. rotiert. Es muss sich aber nicht immer um ein Geschwindig­keits­feld und eine Dreh­bewegung handeln. Beispiels­weise betrifft das Induktions­gesetz die Rotation des elektrischen Feldes.

Ein Vektorfeld, dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich Null ist, nennt man wirbel­frei oder, insbe­sondere bei Kraft­feldern, konservativ. Ist das Gebiet einfach zusammen­hängend, so ist das Vektor­feld genau dann der Gradient einer Funktion, wenn die „Rotation” des Vektor­feldes im betrachteten Gebiet gleich Null ist.

Dagegen ist die „Divergenz” der Rotation eines Vektor­feldes immer gleich Null. Umgekehrt ist in einfach zusammen­hängenden Gebieten ein Feld, dessen Divergenz gleich Null ist, die Rotation eines anderen Vektor­feldes.

Der Gradient ist ebenfalls ein Differential­operator, der auf ein Skalar­feld angewandt werden kann und in diesem Fall ein Vektor­feld liefert, das „Gradienten­feld” genannt wird. Der Gradient kann als eine Verallge­meinerung der Ableitung in der mehrdimen­sionalen Analysis betrachtet werden. Manchmal werden solche Gradienten skalarer Feldgrößen auch als „Gradienten­vektoren” bezeichnet.

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