Bisher haben wir zwei Energie­formen besprochen, und zwar die kinetische Energie und die potentielle Energie. Beide haben wir auf­grund des Arbeits­begriffes einge­führt, weil es in beiden Fällen um eine verrichtete Arbeit ging. Im ersten Fall um eine Arbeit, die man an einem Körper schon verrichtet „hat”. Im zweiten Fall um eine Arbeit, die eine Kraft an einem Körper potentiell verrichten „kann”. Wenn sie also noch verrichtet werden kann, dann ist die Arbeit im Körper gespeichert und abrufbar. Darin besteht also der wesen­tliche Unter­schied. Entweder Arbeit unmittel­bar zuführen und wieder abführen, was bei einer negativen Kraft der Fall wäre. Oder Arbeit zuführen und zu irgendeinem späteren Zeit­punkt wieder abrufen. Das ist auch der grund­sätzliche Unter­schied zwischen Arbeit und Energie.

Wir haben im vorherigen Kapitel die kinetische Energie einge­führt. Das ist ein Parameter, der beschreibt, wie viel Arbeit einem Körper zuge­führt werden muss, um ihn aus einem anfäng­lichen Zustand der Ruhe auf eine bestimmte Geschwindig­keit zu beschleu­nigen. Wie wir gesehen haben, kann man diese Arbeit sehr allgemein ausdrücken.

Für die kinetische Energie hatten wir erhalten:

Anschließend hatten wir den zweiten Term dieser Energie, die sogenannte potentielle Energie einge­führt. Wir sind davon aus­gegangen, dass sich ein Körper in einem Kraft­feld befindet, wie zum Beispiel dem Gravitations­feld der Erde oder die Planeten im Gravitations­feld der Sonne. Das Gleiche trifft auch auf eine Ladung im elektrischen Feld zwischen zwei Kondensator­platten zu.

Bei unserer Betrachtung haben wir aller­dings eine wichtige Einschrän­kung gemacht. Dieses Kraft­feld muss „konservativ” sein. Das bedeutet, dass sich ein Körper in einem Kraft­feld längs einer geschlossenen Bahn­kurve bewegt, vom Anfangs­punkt weg, einmal herum, wieder zum Ausgangs­punkt zurück. Egal wo sich der Körper gerade befindet, die Summe der zugeführten und wieder abge­führten Arbeit wird stets Null sein. Es wird also längs einer geschlossenen Bahn­kurve keine Arbeit verrichtet. Das ist eine Eigen­schaft, die man wie bereits erwähnt bei verschiedenen Kraftfeldern vorfindet.

Unter dieser Maßgabe, dass wir uns zunächst auf konservative Kräfte beschränken, ist die potentielle Energie, die ein Körper in einem solchen Kraft­feld hat, die Arbeit, die das Kraft­feld an dem Körper verrichten kann.

Hierbei befindet sich der Körper an einem bestimmten Punkt, bezüg­lich eines fest­gelegten Bezugs­punktes P_₀, und er könnte sich potentiell von dort, wo er ist, zu diesem Bezugs­punkt hin­bewegen. Er muss es aber nicht, er kann ja auch dort stehen­bleiben. In diesem Fall wird die Arbeit zunächst nicht verrichtet. Trotzdem spricht man davon, dass diesem Körper seine Arbeit zugeeignet wurde, sprich seine potentielle Energie.

Sobald er sich jedoch auf den Bezugs­punkt P_₀ zubewegt, wird die Kraft des Kraft­feldes an ihm Arbeit verrichten. Und damit diese potentielle Energie ein­deutig definiert ist, darf sie nicht abhängig sein vom konkreten Verlauf der Bahn­kurve. Egal, wie man die Bahn­kurve wählt, die Arbeit wird immer die gleiche sein. Und das ist eben nur dann der Fall, wenn man es mit konservativen Kräften zu tun hat.

Hier nochmals die Formel für die potentielle Energie:

Also, bei der poten­tiellen Energie hängt es immer davon ab, was für ein Kraft­feld man betrachtet.

Im vorherigen Kapitel haben wir bereits gesehen, wie man die Arbeit zwischen zwei Punkten ausrechnen kann. Indem man die Arbeit am Weg von P_₁ → P_₂ mithilfe der kinetischen Energien ermittelt, die dieser Körper an den jeweiligen Punkten hat.

Dadurch hatten wir als Ergebnis erhalten, dass die Arbeit gleich der Differenz der kinetische Energien ist:

Das ist die Arbeit, die verrichtet wird, wenn sich der Körper vom Punkt P_₁ → P_₂ bewegt. Er hat dann im Punkt P_₁ im All­gemeinen eine andere Geschwindig­keit als im P₂. Und die Arbeit, die da verrichtet wurde, ist wie bereits schon erwähnt einfach die Differenz der kinetischen Energien in diesen beiden Punkten.

Jetzt wollen wir in ähn­licher Weise ausrechnen, ob man diese Arbeit auch ausdrücken kann mit Hilfe der potentiellen Energie. Hier betrachtet man wieder die Arbeit längs eines Weges von P_₁ → P_₂.

Man beschreibt im ersten Schritt die Arbeit, wie wir sie bereits definiert haben zunächst auf. Die Arbeit ist ja das Integral · d vom Anfangs­punkt P_₁ zum Punkt P_₂:

Wir betrachten das Ganze immer noch unter der Voraus­setzung, dass wir es mit konser­vativen Kräften zu tun haben und dass man zudem irgendwo einen Bezugs­punkt P_₀ fest­gelegt hat. Hierzu vergleicht man zwei Bahn­kurven mitein­ander. Im ersten Fall bewegt sich der Körper auf der Bahn­kurve von P_₁ nach P_₂. Im zweiten Fall denkt man sich eine Bahn­kurve, die von P₁ über den Bezug­spunkt P_₀ nach P_₂ verläuft. Hier wird also der Bezugs­punkt P_₀ in die Bahn­kurve mit ein­bezogen. In beiden Fällen wird die gleiche Arbeit verrichtet. Und in beiden Fällen ist die Arbeit rund­herum gleich Null. Das ist eine Voraus­setzung für die konservativen Kräfte.

Das heißt, man kann die Arbeit im zweiten Fall wie folgt beschreiben:

ist nach wie vor die Kraft in diesem Kraft­feld. Jedem Raum­punkt ist hier ein ent­sprechender Kraft­vektor zuge­ordnet. Im Gravitations­feld der Erde wäre das an jeder Stelle der gleiche Kraft­vektor dieses homogenen Feldes. Es braucht aber nicht zwingend ein homogenes Feld zu sein. Es muss nur die Eigen­schaft ausweisen, dass die Arbeit wegunabhängig ist.

Hier erhält man ein Integral von P_₁ → P_₀:

Das ist nichts anderes als die potentielle Energie an der Stelle V (P_₁ ).

Andererseits haben wir ein Integral von P_₀ → P_₂:

Und das ist nichts anderes als die potentielle Energie an der Stelle V (P_₂ ).

Damit können wir die Arbeit wie folgt ausdrücken:

Das ist die Arbeit, die das Kraft­feld verrichtet, wenn sich der Körper vom Punkt P_₁ zum Punkt P_₂ bewegt. Man kann ohne weiteres erkennen, dass die beiden Ausdrücke für die Arbeit eine gewisse Ähnlich­keit aufweisen.

Wir werden jetzt betrachten, wie die poten­tielle Energie V und das Kraft­feld mit­einander zusammen­hängen. Das ist eine besonders wichtige Abhängig­keit, die zeigen wird, warum in der Physik haupt­säch­lich die potentielle Energie eine so große Bedeutung hat.

Um den Zusammenhang erkennen zu können, wollen wir mit einer einfachen Ableitung den Bezug her­leiten. Und zwar unter der Voraus­setzung, dass wir zwei Punkte P_₁ und P_₂ unter­suchen, die nahe beisammen sind. Nahe soll in diesem Fall heißen, dass sich über die Distanz zwischen diesen beiden Punkten die Kraft des Kraft­feldes nur wenig ändert, woraus folgt:

Und jetzt rechnen wir uns die Arbeit aus, welche die Kraft längs des Weges von P_₁ → P_₂ verrichtet.

Das werden wir auf zweierlei Weise tun. Einmal mit dem Arbeits­begriff und einmal mit der Beziehung, die wir erhielten, als wir die Arbeit aus den poten­tiellen Energien herge­leitet haben.

Zunächst einmal ist die Arbeit als Integral:

Wenn aber die beiden Punkte P_₁ und P_₂ so nahe beiein­ander liegen, dass sich das Kraft­feld praktisch nicht ändert, dann kann man in guter Nähe­rung die Kraft als Konstante vor das Integral setzen und damit bleibt nur noch stehen:

Oder anders gesagt, die Kurve ist zwischen den Punkten so kurz, dass man für die Ermittlung dieses Kurven­integrals die Kurve nicht in noch kleinere Abschnitte unter­teilen muss. Die Teil­strecke ist bereits klein genug, um sie ohne große Unge­nauigkeit darstellen zu können.

Andererseits können wir diese Arbeit aber auch definieren als:

Das lässt sich jetzt umformen. Es geht nämlich um die Differenz von Potential­werten an nahe beisammen liegenden Punkten:

Das ist nur eine einfache Verall­gemeinerung einer 1-dimensionalen Beziehung. Wenn in einer Funktion einer Variablen ein x vorhanden ist, kann man auch schreiben:

Man ersetzt also die Funktion durch die Tangente und geht um dieses Δx weiter, woraus dann folgt:

Jetzt stellt sich die Frage, wie lässt sich das dar­stellen? Dazu führt man den Gradienten ein. Der Gradient einer skalaren Funktion V ist ein Vektor mit den Komponenten ∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z.

Andererseits hat der Orts­vektor die Komponenten x, y, z. Das sind einfach die Koordi­naten des Punktes, zu dem der Orts­vektor hinzeigt:

Und das Δ ist die Differenz der beiden Koordinaten der beiden Punkte P_₁ und P_₂:

Mithilfe dieser Ausdrücke ergibt sich daraus:

Wenn man jetzt nochmals beide Ausdrücke für die Arbeit mit­einander vergleicht, ergibt sich schließlich die Folgerung:

Das ist eine besonders wichtige Beziehung. Denn dadurch wird der Zusammen­hang zwischen dem Kraft­feld und der poten­tiellen Energie in diesem Kraft­feld deutlich.

Wesentlich dabei ist besonders der Umstand, dass es auf die Art und Weise möglich ist, ein Kraft­feld (Vektorfeld) mithilfe nur einer skalaren Orts­funktion darzu­stellen. Und auch hier noch­mals der Hinweis, das Ganze gilt nur für konservative Kräfte. Bei einem „wirbelhaften” Feld geht so etwas zum Beispiel nicht.

Diese potentielle Energie ist nur dann eindeutig, wenn man einen festen Bezugs­punkt P_₀ vorgibt. Wechselt man den Bezugs­punkt, indem man auf einen anderen Bezugs­punkt übergeht, dann wird sich die potentielle Energie nur um einen konstanten Summanden, der auch negativ sein kann, verändern. Wenn man sich im Bezugs­punkt P_₀ befindet, wird die potentielle Energie Null sein.

Halten wir fest, man kann konservative Kraft­felder als negativen Gradienten der potentiellen Energie schreiben.

Jetzt wollen noch einen Ausdruck für die poten­tielle Energie ableiten. Das Ganze bezieht sich aber nur auf einen Spezial­fall eines „homogenen Kraft­feldes”. Als homogenes Kraft­feld denken wir uns das Kraft­feld der Gravitations­kraft auf der Erdober­fläche. An allen Punkten hat die Kraft auf einen Körper den gleichen Betrag. Also, bei einem homogenen Kraft­feld ist der Kraft­vektor nicht vom Raum­punkt abhängig.

Der Ortsvektor ist in diesem Fall:

Den Bezugspunkt legt man in den Koordinaten­ursprung:

Und die Kraft in diesem homogenen Kraft­feld ist eine konstante Kraft, die über­all nach unten gerichtet ist. Die z-Achse zeigt sinnvoller Weise nach oben:

Die Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt stellt sich wie folgt dar:

Wenn man sich also in einem homogenen Kraft­feld befindet, und die z-Achse entgegen der Kraft­richtung gerichtet ist, und der Betrag dieser Kraft entspricht F_₀, dann ist die poten­tielle Energie V an der Stelle (P) in der Höhe z gleich P_₀ · z.

Hinweis:
Dieses _F₀ ist gleich Masse · Fallbeschleunigung. Daher auch die Formel m · g · z (h).

Obige Ableitung ist nur ein Ausdruck für einen „Spezialfall” im homogenen Kraftfeld!

Dagegen ist die Beziehung (m · v²) /2, die wir in Verbindung mit der kinetischen Energie kennen­gelernt haben, ein allgemeinerer Ausdruck.

Nachdem wir jetzt beide Arten der Energie behandelt haben, können wir die Ergebnisse zusammen­fassen. Die mechanische Gesamt­energie ist demnach:

Man misst einem Körper (einem Teilchen oder Massen­punkt) eine „kinetische” Energie und eine „potentielle” Energie zu. Die Summe der beiden ist dement­sprechend seine Gesamt­energie. Diese Größe führt zu einem ganz wichtigen Erhaltungs­satz. Nämlich dem Energie­erhaltungssatz (s.u.).

Denn wir können uns jetzt die Arbeit ausrechnen vom Punkt P_₁ → P_₂ (s.o.):

Also die Differenz der kinetischen Energien zwischen End­punkt und Anfangs­punkt. Quasi, wie viel man an Arbeit noch hinein­stecken muss.
Anderseits haben wir die Arbeit auch wie folgt hergeleitet:

Daraus ergibt sich schlussendlich:

Und daraus lässt sich der „Energie­erhaltungs­satz” ableiten:

Dieser Satz gilt allerdings nur für konservative Kräfte, und er besagt:

In einem System mit konser­vativen Kräften bleibt die mechanische Gesamt­energie konstant.

Dennoch kann man durch Hinzu­nahme von thermischer Energie den Gültig­keits­bereich dieses Erhaltungs­satzes erweitern. Diese Erweiterung des Energie­satzes auf den Bereich, wo auch thermische Energien mit berücksichtigt werden, führt dann zum Ersten Hauptsatz der Thermodynamik.

Der Geltungs­bereich des Impuls­erhaltungs­satzes dagegen gilt all­gemeiner als der Energie­erhaltungs­satz, weil er nicht auf konservative Kräfte beschränkt ist.

Sehr schön lässt sich das an einem Pendel illustrieren. Bei einem Pendel gibt es ständig einen Wechsel zwischen potentieller Energie und kinetischer Energie. Und die Summe der beiden, bleibt entsprechend dem Energie­erhaltungs­satz, stets konstant. Es schwingt also gewisser­maßen die Energie zwischen kinetischer und potentieller Energie hin und her.

Dazu kommen wir im übernächsten Kapitel.

⇦ Kapitel Kapitel ⇨