Nehmen wir an, der Massenmittelpunkt befindet sich in einem Kraftfeld, wie zum
Beispiel bei einem geworfenen Stein. Der Körper durchläuft das Kraftfeld,
während er sich längs einer Bahnkurve bewegt. Nun teilen wir die Bahnkurve
in einzelne Abschnitte
Δ
auf.
Jetzt definieren wir die Arbeit, die von Seiten dieses Kraftfeldes
an diesem sich bewegenden Massenpunkt
auf seinem Weg, während dieses kleinen Stückes
Δ,
verrichtet wird. Die Arbeit bezeichnet man mit ΔW:
Das Skalarprodukt ergibt sich aus der Länge des einen Vektors mal der Länge der „Normalprojektion” des zweiten Vektors auf den ersten Vektor.
Daraus ergibt sich: ΔW ist der Weg mal die Kraftkomponente in Wegrichtung. Die Normalkomponente ergibt sich aus der Normalprojektion unter Berücksichtigung des ∟. Die allgemein übliche Definition Arbeit = Kraft ⋅ Weg trifft nur zu, wenn beide Vektoren parallel zueinander sind. Die Arbeit ist in Wirklichkeit das Integral vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt unter Berücksichtigung des Kraftfeldes. Hierbei betrachtet man die Summe aller Teilabschnitte ΔW, und das wäre dann die gesamte Arbeit, die längs dieser Kurve an diesem Massenpunkt seitens des Kraftfeldes verrichtet wird.
Die Arbeit des Integrals vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt ist wie folgt definiert:
In diesem Zusammenhang berücksichtigt man zwei Spezialfälle. In beiden
Fällen geht es um eine geradlinige Bewegung mit einer konstanten Kraft
.
1. Im ersten Fall steht die Kraft parallel zur Geschwindigkeit:
||
Nur dann spricht man von der Arbeit als Kraft ⋅ Weg :
2. Im zweiten Fall steht die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit:
⊥
Wenn zum Beispiel eine Stahlkugel reibungsfrei auf einem Tisch rollt, dann verrichtet die senkrecht gerichtete Schwerkraft an diesem Körper keine Arbeit.
Die Leistung ist nichts anderes als die Arbeit, die pro Zeiteinheit verrichtet wird. Wie viel Zeit man also braucht, um eine Arbeit zur verrichten.
Im Einzelnen kann die Leistung dargestellt werden als:
Wenn man das umformt, erhält man:
Die Leistung ist demnach die Kraft multipliziert mit der gerade vorliegenden Geschwindigkeit:
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