Hinweis: In der klassischen Mechanik bleibt die Masse konstant. Die Einheit der Masse ist das
kg. Die Einheit der Beschleunigung ist
Bei einer Kraft von 1 N (Newton), wird einer Masse von
Der Impuls ist ja definiert als:
Wenn auf eine bestimmte Masse eine doppelt so große Kraft wirkt, wird der Körper auch doppelt so groß beschleunigt.
Bei einer 1-dimensionalen Beschleunigung ergibt sich aus der Kinematik für die Bewegung:
Die Beschleunigung wird demnach definiert als:
Wenn man zum Beispiel im Versuchsaufbau den gesamten Weg konstant hält
Wie wir bereits gesehen haben, charakterisiert die Masse die Trägheit eines Körpers, sprich den Widerstand den der Körper einer Beschleunigung seiner selbst entgegensetzt.
Was passiert aber, wenn zwei Körper miteinander in Wechselwirkung stehen? Wenn sie sich also gegenseitig in ihrer Bewegung beeinflussen? Entscheidend ist hierbei zu wissen, in welcher Art und Weise sie das tun werden.
Wenn zum Beispiel auf zwei gleich große Massen nur innere Kräfte wirken, dann werden diese in entgegengesetzte Richtungen gleich stark beschleunigt. Das heißt, es wirken betragsmäßig die gleichen Kräfte, die aber richtungsmäßig entgegengesetzt gerichtet sind.
Das 3. Newton-Axiom bezeichnet man auch als „Wechselwirkungssatz” bzw. „Reaktionssatz”:
Für Kräfte auf zwei wechselwirkende Körper gilt, dass diese beiden entgegengesetzt gleich sind.
Obige Definition trifft dann zu, wenn zwei wechselwirkende Kräfte in der gleichen Wirkungslinie verlaufen.
Welche Schlussfolgerungen können wir jetzt aus den drei Newton-Axiomen ziehen?
Wir wir gesehen haben sind Kräfte die Ursachen von „Impulsänderungen”.
Daraus ergeben sich in der Mechanik weitere „Erhaltungssätze”.
Kräfte sind Ursachen von Impulsänderungen. Wenn die äußere Kraft verschwindet, ist der Impuls konstant. Das nennt man den „Impulserhaltungssatz”. Diese Gesetzmäßigkeit gilt auch dann, wenn man nicht nur einen einzelnen Massenpunkt, sondern ein System von Massenpunkten betrachtet. Also Massenpunkte, die auch miteinander wechselwirken können, bzw. wo äußere Kräfte wirken.
Daraus ergibt sich, dass der Gesamtimpuls, also die Summe aller Einzelimpulse, auch konstant bleibt. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn die Summe aller äußeren Kräfte auf diese Körper gleich Null ist. Nichts desto trotz können innere Kräfte, also Wechselwirkungen zwischen den Teilchen, durchaus dabei vorhanden sein. Dieser Impulserhaltungssatz hat mehrere Anwendungen, besonders bei Stoßvorgängen und Streuvorgängen.
Darüber hinaus gibt es auch den „Drehimpuls”, der mit dem Impuls als solches zusammenhängt. Der Drehimpuls ist nichts anderes, als das vektorielle Produkt des Ortsvektors und des Impulsvektors eines Teilchens:
Der Impuls ist bei der „linearen Bewegung” definiert als Masse mal Geschwindigkeit:
p = m · v
Mit anderen Worten, je höher die Masse oder die Geschwindigkeit, desto schwieriger ist es, die Masse wieder abzubremsen.
Bei der Rotation, also der Kreisbewegung um eine Drehachse, sieht es etwas anders aus. Dort betrachten wir eine Masse, die im Abstand r um eine Drehachse rotiert. Der Drehimpuls ist bei der Rotationsbewegung definiert als:
L = r · p, wobei
Auch hier ist der Drehimpuls ein Maß dafür, wie schwierig es ist, diese Rotation wieder abzubremsen.
Die Beziehung L = r · p stimmt aber nur dann, wenn die Tangentialgeschwindigkeit im rechten Winkel zum Radius steht. Ist das nicht der Fall, weil die Tangentialgeschwindigkeit ist in einem anderen Winkel angreift, dann ist der Drehimpuls definiert als:
Das ist die allgemeinere Formel und wird auch als „vektorielles Kreuzprodukt” bezeichnet.
Rechenbeispiel: Eine Kugel mit 10 kg rotiert mit einer Tangentialgeschwindigkeit von 0,5 m/s um eine Drehachse. Der Abstand zur Drehachse beträgt 3 m. Der Drehimpuls ist demnach:
L = 10 kg · 3 m · 5 m/s = 15 kg m²/s
Im Allgemeinen besteht der einzelne Vektor aus den Koordinaten (x, y, z).
Die Berechnung erfolgt nach folgendem Schema:
Setzt man entsprechend ein, ergibt sich:
Damit erhält man letztlich den Betrag:
So wie aus dem Impuls der Drehimpuls wird, so wird aus der Kraft das „Drehmoment”:
Die Winkelgeschwindigkeit hatten wir ja bereits schon betrachtet. Lässt sich auch eine entsprechende Beziehung zwischen dem Drehimpuls und der Winkelgeschwindigkeit herstellen?
Wenn wir uns im weiteren Verlauf mit der Bewegung von starren Körpern auseinandersetzten, werden wir sehen, dass der Drehimpuls nicht immer parallel zu ist. In einem solchen Fall hat man es mit sogenannten „Tensoren” zu tun. Dann lässt sich die Beziehung nicht mehr durch einen Skalar darstellen, sondern nur durch einen „Trägheitstensor”. Die Masse ist charakteristisch für die Trägheit linearer Bewegungen, während der Trägheitstensor charakteristisch ist für die Trägheit bei Drehbewegungen. Doch dazu später mehr.
Man kann diesen Drehimpuls auch nach der Zeit ableiten:
Der zweite Term ist immer gleich Null. Und wenn
Wir haben hier eine ganz analoge Situation wie beim
Wenn das äußere Drehmoment verschwindet bzw. gleich Null ist, dann wird der Drehimpuls „konstant” sein.
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