Die „Kreisbewegung” ist weder eine unbeschleunigte, noch eine gleich­förmig beschleunigte Bewegung.

Zunächst möchten wir auch hier ein Bezugs­system festlegen. Dazu nehmen wir wieder das kartesische Bezugs­system. Also senk­recht aufeinander stehende Koordinaten­achsen (x-y-z). In diesem Fall setzten wir voraus, dass es sich um ein Rechts­system handelt. Das ist wichtig, weil es nämlich zwei Arten von kartesischen Bezugs­systemen gibt. Das „Rechts­system”, auch Rechte-Hand-Regel genannt, und das „Links­system” – Linke-Hand-Regel.

Beide Bezugssysteme sind spiegel­bildlich zueinander. Um das zu veranschau­lichen, werden der Mittel- und Zeigefinger sowie der Daumen der jeweiligen Hand so gespreizt, dass alle drei Finger einen „rechten Winkel” zueinander beschreiben. Das ist dann gleich­bedeutend mit den drei Achsen x-y-z. Der Zeige­finger zeigt jeweils von einem weg, sodass der Daumen nach oben zeigt. Benutzt man dazu beide Hände gleich­zeitig, so zeigen die Spitzen der beiden Mittel­finger aufeinander.

Also, das Basis­koordinaten­system für die weitere Betrachtung ist das Rechts­system. Diese Voraus­setzung ist wesentlich, wie wir noch sehen werden. Die Bewegung soll auf einem Kreis erfolgen. Das heißt, es gibt eine „feste Drehachse”, um die sich das betrachtete Teilchen dreht. Der Koordinaten­ursprung des Bezugs­systems liegt eben­falls auf dieser Dreh­achse, und ist daher auch unbeschleunigt.

Grafik (wird später eingefügt)

Um anschließend noch die Bewegung eines starren Körpers beschreiben zu können, legen wir den Null­punkt des Koordinaten­systems nicht in den Mittel­punkt des Kreises. Sondern wir legen ihn unter­halb der Kreis­fläche in einem verhältnis­mäßigen Abstand irgendwo auf der Drehachse.

Der Ortsvektor zeigt jetzt vom Ursprung O zum Punkt P, wo sich das Teilchen gerade auf der Kreis­bahn befindet. Auf dem Kreis können wir zusätz­lich noch einen Ausgangs­punkt P_₀ festlegen, von dem aus sich das Teilchen in Richtung P bewegt. Vom Mittel­punkt des Kreises aus hat der Radius­vektor R einen Winkel φ (phi) überstrichen.

Den Kreis­bogen, der vom Teilchen dabei über­schritten wird, bezeichnen wir als s. Die Bogen­länge ist demnach:

Der Winkel φ ist hierbei jedoch im Bogenmaß gegeben und nicht als Grad, weil man in der Physik im Allgemeinen so vorgeht. Da der Null­punkt des Koordinaten­systems weiter unten auf der Dreh­achse liegt, bildet der Radius­vektor R mit dem Orts­vektor ein recht­winkliges Dreieck. Diesen unteren Winkel nennen wir ϑ (theta).

Der Radius der Kreisbahn lässt sich demnach definieren als:

An dieser Stelle ist die Einführung einer weiteren Größe sehr wichtig.

Die „Winkel­geschwindig­keit” hat vektoriellen Charakter, weshalb man sie nennt. Die Winkel­geschwindig­keit definiert man zum einen auf Grund­lage des Betrags dieses Vektors.

Deshalb nennen den Betrag einfach die Winkel­geschwindig­keit. Demnach ist der Betrag:

Hier handelt es sich um den Winkel, der von diesem Radius­vektor pro Zeit­einheit über­strichen wird. „Winkel” ist hier eine dimensions­lose Größe bzw. [s^(-1)]. Halten wir fest: Der Betrag der Winkel­geschwindig­keit ist der Winkel der von dem Radius­vektor pro Zeiteinheit überstrichen wird.

Als Nächstes geben wir die Richtung des Geschwindig­keits­vektors vor. Der Vektor der Winkel­geschwindigkeit ist parallel zur Dreh­achse gerichtet. Die Richtung dieses Vektors richtet sich nach der Umdrehungs­richtung der Kreis­bahn. Hierbei einigt man sich auf die Rechte-Hand-Regel als Richtungs­sinn. Wenn die Finger der rechten Hand (leicht geschlossen) in Richtung der Drehbewegung zeigen, dann zeigt der gespreizte Daumen in Richtung des Winkel­geschwindig­keits­vektors. Mit anderen Worten, er liegt auf der Drehachse und zeigt vom Kreis­mittel­punkt nach vorne (oben).

Das ist nicht unerheblich, denn in der „Elektro­dynamik” gibt es auch die Rechte-Hand-Regel, bezogen auf die Fluss­richtung des Stroms in einer Spule und der Anordnung des Magnet­felds. Der Vektor der magne­tischen Fluss­dichte ist ebenso wie der Winkel­geschwindig­keits­vektor ein Axial­vektor, der ledig­lich die Richtung angibt.

Nun kann man mit Hilfe dieses Winkel­geschwindig­keits­vektors die Geschwindig­keit eines bewegten Teilchens in einer sehr einfachen Weise darstellen.

Die Winkel­beschleuni­gung ist definiert als:

Es geht also um die Änderung der Winkel­geschwindig­keit pro Sekunde und das pro Sekunde, deshalb s^(-2).

Der Betrag der Winkel­beschleunigung ist:

Und da es sich um eine Kreisb­ewegung handelt, ist die Winkel­beschleunigung parallel zur Winkel­geschwindig­keit ||.

Alles schön und gut, aber das eigentliche Ziel ist es, die Bewegung dieses Teilchens auf der Kreisbahn zu beschreiben. Deshalb erhält der Punkt (das Teilchen) einen Geschwindig­keits­vektor . Da es sich hierbei um einen Tangential­vektor handelt, ändert dieser ständig seine Richtung und kann je nach Anwendungs­fall auch seine Länge ändern.

Den „Geschwindigkeitsvektor” kann man ganz gut in einer über­sichtlichen Form mithilfe des Winkel­geschwindig­keits­vektors beschreiben. Zunächst schauen wir uns den Betrag || an. Das ist nichts anderes als die Änderung der Wegstrecke mit der Zeit:

Also, mit mithilfe der Winkel­geschwindig­keit kann man bei bekanntem Kreisradius die Bahn­geschwindig­keit, das heißt den Betrag der Geschwindig­keit des Massen­punktes ausrechnen. Nun lässt sich ein Bezug mit der vektoriellen Dar­stellung der Winkel­geschwindig­keit her­stellen. Und zwar, wenn man das Ganze vektoriell schreibt. Dann erhält man ein vektorielles (Kreuz)Produkt:

Aber das darf man nicht verwechseln mit dem Operations­zeichen einer Produkt­rechnung. Denn das vektorielle Produkt zweiter Vektoren ist seinerseits ebenfalls ein Vektor, welches senkrecht auf den einen und senkrecht auf den anderen steht.

Und die Länge des Geschwindigkeits­vektors ist gleich der Fläche des von und aufgespannten Parallelo­gramms. Für das vektorielle Produkt gilt, dass sich die Orien­tierung des Produkt­vektors nach der Orientierung des Koordinaten­systems richtet. Für den Betrag gilt:

Selbst wenn sich die Winkel­geschwindig­keit nicht ändert, haben wir mit einer Beschleuni­gung zu rechnen, weil sich der Geschwindig­keits­vektor ständig ändert. Schließlich ist die Beschleunigung die Änderung des Geschwindigkeits­vektors pro Zeiteinheit.

Der Beschleunigungsvektor wird wie folgt definiert:

Alternativ kann man auch schreiben:

Hinweis: Beim Differenzieren eines vektori­ellen Produktes muss man die Produkt­regel beachten.

Achtung: Das vektorielle Produkt hat die wichtige Eigenschaft, dass es nicht wie das Skalar­produkt kommutativ ist, sondern dass es anti­kommutativ ist. Würde man die beiden Faktoren vertauschen, würde der Vektor in die andere Richtung schauen. Insofern muss man auf die Reihen­folge der Produkte achten.

Was hat der erste Term bei obigem Vektor­produkt für eine Bedeutung?

Als erstes interessiert uns der Betrag:

Das ist nichts anderes als der Betrag des Geschwindig­keits­vektors.

Daraus ergibt sich:

Das bedeutet wiederum, dass der erste Term die „Tangential­beschleunigung” _t ist.

Schauen wir uns den zweiten Term an.

Auch hier interessiert uns als erstes der Betrag:

Das ist nichts anderes als die Normal­beschleunigung.

Daraus ergibt sich:

Und das bedeutet seinerseits, dass der zweite Term die „Normal­beschleunigung” _n ist. Da diese zum Kreis­mittelpunkt gerichtet ist, nennt man sie auch „Zentripetal­beschleunigung”.

Bei einer Kreis­bewegung mit konstanter Winkel­geschwindig­keit wird es keine Tangential­beschleunigung geben. In diesem Fall gibt es nur eine Normal­beschleu­nigung. Und daher bleibt auch der Betrag des Geschwindig­keits­vektors konstant.

In diesem Zusammen­hang gibt es noch die „Zentri­fugal­kraft”. Darunter versteht man eine Trägheits­kraft, die in bewegten und beschleu­nigten Bezugs­systemen eine Rolle spielt. Wenn man, wie oben beschrieben, ein rotierendes Bezugs­system betrachtet, dann wirkt auf das Teil­chen eine „nach außen” gerichtete Trägheits­kraft, nämlich diese Zentrifugal­kraft. Und die Zentripetal­beschleunigung ruft ihrerseits eine entsprechende „nach innen” gerichtete „Zentripetal­kraft” hervor, die notwendig ist, um die nach außen gerichtete Zentrifugal­kraft zu kompensieren, sodass das Teilchen nicht hinausfliegt.

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